第二十二章 节 传奇共分享（2/3）
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一个平面作图问题，前提总是给了一些平面图形，例如，点、直线、角、圆等，而直线是由两点决定的；一个角可由其顶点和每边上取一点共三点决定；圆由圆心和圆周的一点决定；所以平面几何作图问题总可以归结为给定n个点即n个复数z1，....，n(当然还有z0=1)。
尺规作图过程也可以看作利用圆规和直尺不断得到新的复数，所以问题就变成为：给了一批复数0，1，...n和，能否从0，1，...n出发利用尺规得到复数。
于是可给出如下递归定义：
定义：设={0=1，1，...n}是n+1个复数，将
(1)0=1，1，...n叫做-点；
(2)过两个不同的-点的直线叫-直线，以一个-点为圆心、任意两个-点之间的距离为半径的圆叫-圆；
(3)由-直线与-直线、-直线与-圆、-圆与-圆相交的点也叫-点。
上面这个定义完全刻画了尺规作图过程，如果以表示全体-点的集合，那么也就是从={0=1，1，...n}出发通过尺规作图所得到的全部复数。
定理：设1，...n(n≥0)为n个复数。设=(1，...n，1'，...n')，('代表共轭复数)，那么，一个复数可由={0=1，1，...n}作出的充要条件是属于(u1，...un)。其中u12属于,ui2属于(u1，...ui-1)。换言之，含于的一个2次根号扩张。
系：设={0=1，1，...n}，=(1，...n，1'，...n')，为-点，则[(z)：]是2的方幂。
以下证明三等分任意角的不可能性，证明尺规作图不能三等分60度角：
60度角即相当于复数1=1/2+√3/2i。从而={0=1,1}，=(z1,z1')=(√-3)。如果能作出20度角，当然也能得到cos20，但是cos20满足方程4x3-3x-1/2=0，即8x3-6x-1=0。由于8x3-6x-1在[x]中不可约，从而[(cos20)：]=3，于是
6=[(cos20,√-3)：]=[(cos20)：]=[(cos20)：][：]
由于[：]=[(√-3)：]=2，所以[(cos20)：]=3，根据上面的系可知cos20不是-点，从而60度不可能三等分。
。。。
有一位古希腊人埃拉托色尼，博学多才，不仅通晓天文，而且熟知地理；又是诗人、历史学家、语言学家、哲学家，曾担任过亚历山大博物馆的馆长。
他用简单的测量工具计算出了地球的周长，他发现：离亚历山大城约800公里的塞恩城（今埃及阿斯旺附近），夏日正午的阳光可以一直照到井底，因而这时候所有地面上的直立物都应该没有影子。但是，亚历山大城地面上的直立物却有一段很短的影子。他认为：直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成。从地球是圆球和阳光直线传播这两个前提出发，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角。按照相似三角形的比例关系，已知两地之间的距离，便能测出地球的圆周长。
埃拉托色尼测出夹角约为7度，是地球圆周角（360度）的五十分之一，由此推算地球的周长大约为4万公里，这与实际地球周长（40076公里）相差无几。
他还算出太阳与地球间距离为1.47亿公里，和实际距离1.49亿公里也惊人地相近。他还测出黄赤交角的二倍是圆周的11/83。这些都充分反映了他的智慧。
埃拉托色尼还是首先使用“地理学”名称的人，写成了三卷专著，描述了地球的形状、大小和海陆分布，并用经纬网绘制地图，最早把物理学的原理与数学方法相结合，创立了数理地理学。他的《地理学》是把地理置于合理的数学基础上的最早尝试。
他还创造了一种素数筛选的普遍公式，称为“埃拉托塞尼筛法”：
“要得到不大于某个自然数的所有素数，只要在2---中将不大于√（根号）的素数的倍数全部划去即可”。
他对倍立方问题做过一定的研究，并制造出一种器械作图方法，还记载了倍立方问题起源的故事：
倍立方问题的来源，可追溯到西元前429年，一场瘟疫袭击了希腊第罗斯岛(elos)，造成四分之一的人口死亡。岛民们推派一些代表去神庙请示阿波罗的旨意，神指示说：
要想遏止瘟疫，得将阿波罗神殿中那正立方的祭坛加大一倍。
于是人们把每边增长一倍，结果体积变成了8倍，瘟疫依旧蔓延；
人们又试着把体积变为原来的2倍，形状却变为一个长方体；
第罗斯岛人在万般无奈的情况下，只好鼓足勇气到雅典去求救於当时著名的学者柏拉图。
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